Modelo computacional preliminar de la formación de la superficie cerebral / Preliminary computation form of the cerebral surface development

La corteza cerebral es una lámina gris, formada por cuerpos de neuronas, que cubre los hemisferios cerebrales y cuyo grosor varía de 1,25 mm en el lóbulo occipital a 4 mm en el lóbulo anterior. Debido a los numerosos pliegues que presenta, la superficie cerebral es unas 30 veces mayor que la superficie del cráneo. Estos pliegues forman las circunvoluciones cerebrales, surcos y fisuras y delimitan áreas con funciones determinadas, divididas en cinco lóbulos. La formación de las circunvoluciones puede variar entre individuos y constituyen una característica importante de la formación del cerebro. Estos patrones se pueden representar, de forma matemática, como patrones de Turing. En este artículo se desarrolla un modelo fenomenológico que describe la formación de los patrones de las circunvoluciones que ocurren en la corteza cerebral mediante ecuaciones de reacción difusión con parámetros en el espacio de Turing. Para estudiar la formación de patrones se resuelven varios ejemplos numéricos sobre geometrías simplificadas de un cerebro. Para la solución numérica se utilizó el método de los elementos finitos en conjunto con el método de Newton-Raphson. Los ejemplos numéricos muestran que el modelo puede representar la formación de los pliegues de la corteza cerebral y reproducir patologías de la formación de las circunvoluciones, tales como polimicrogiria y lisencefalia.

Cerebral cortex is a gray layer including neuron bodies covering the cerebral hemispheres and whose thickness fluctuates from 1.25 mm in the occipital lobule to 4 mm in the anterior lobule. Due to the many folds present, la cerebral surface is a thirty times greater than the cranial surface. These folds create the cerebral convolutions, grooves and fissures defining areas with determined functions, divided into five lobules. La convolutions formation may to vary among subjects and are an important characteristic of brain formation. These patterns may be represented in a mathematical way like Turing patterns. The aim of present paper was to design a phenomenological model describing the formation of convolutions patterns occurring in the cerebral cortex by means of diffusion reaction equations with parameters in the Turing space. To study la formation of patterns it is necessary to solve some numerical examples on simplified geometries of a brain. For numerical solution authors used the finite elements method together with the Newton-Raphson method. The numerical examples demonstrate that this model may to represent the folds formation in the cerebral cortex and to reproduce pathologies of the convolutions formation, such as the polymicrogyria and lissencephalous.

Efecto del crecimiento en procesos de reacción difusión, un acercamiento a la biología del crecimiento / Growth effect in diffusion reaction processes, an approach to growth biology

El comportamiento de las ecuaciones de reacción-difusión ha sido estudiado en diversos campos de la biología, la bioingeniería y la química, entre otras. En especial, cuando los parámetros del sistema de reacción-difusión se encuentran en el espacio de Turing, la solución lleva a la formación de patrones de Turing que son estables en el tiempo e inestables en el espacio. Estos patrones pueden modificarse gracias a la acción del crecimiento del dominio donde se desarrolla la reacción. En este artículo se plantea, de forma general, las ecuaciones de reacción-difusión sobre dominios crecientes en 2D y 3D. Además, para estudiar el efecto del crecimiento sobre la formación de patrones se resuelven varios ejemplos numéricos sobre diferentes geometrías. Para la solución numérica se utilizó el método de los elementos finitos en conjunto con el método de Newton-Raphson para la aproximación de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Se encontró que el crecimiento afecta la formación de patrones de Turing generando estructuras complejas en el dominio

The behavior of reaction-diffusion equations has been studied in different fields of biology, bioengineering and chemistry, among others. Interestingly, when the parameters of reaction-diffusion system are placed in the Turing's space, solution leads to formation of Turing's patterns remaining stable in time and unstable in space. These patterns may be modified due to action of growth of domain where reaction is developed. The objective of present paper is to propose in general, the reaction-diffusion equations over the growing domains in 2D and 3D. Also, to study the growth effect on the patterns formation some numerical examples on different geometries must to be solved. For numerical solution we used the finite elements method together with the Newton-Raphson method to approach of the partial no-linear differential equations. It was noted that the growth to affect the Turing's patterns formation generating complex structures in the domain