Green functions and smooth distances.

In the present paper, we show that for an optimal class of elliptic operators with non-smooth coefficients on a 1-sided Chord-Arc domain, the boundary of the domain is uniformly rectifiable if and only if the Green function G behaves like a distance function to the boundary, in the sense that ∇G(X)G(X)-∇D(X)D(X)2D(X)dX is the density of a Carleson measure, where D is a regularized distance adapted to the boundary of the domain. The main ingredient in our proof is a corona decomposition that is compatible with Tolsa's α-number of uniformly rectifiable sets. We believe that the method can be applied to many other problems at the intersection of PDE and geometric measure theory, and in particular, we are able to derive a generalization of the classical F. and M. Riesz theorem to the same class of elliptic operators as above.

Green function estimates on complements of low-dimensional uniformly rectifiable sets.

It has been recently established in David and Mayboroda (Approximation of green functions and domains with uniformly rectifiable boundaries of all dimensions. arXiv:2010.09793) that on uniformly rectifiable sets the Green function is almost affine in the weak sense, and moreover, in some scenarios such Green function estimates are equivalent to the uniform rectifiability of a set. The present paper tackles a strong analogue of these results, starting with the "flagship" degenerate operators on sets with lower dimensional boundaries. We consider the elliptic operators L ß , γ = - div D d + 1 + γ - n ∇ associated to a domain Ω âŠ‚ R n with a uniformly rectifiable boundary Γ of dimension d < n - 1 , the now usual distance to the boundary D = D ß given by D ß ( X ) - ß = ∫ Γ | X - y | - d - ß d σ ( y ) for X ∈ Ω , where ß > 0 and γ ∈ ( - 1 , 1 ) . In this paper we show that the Green function G for L ß , γ , with pole at infinity, is well approximated by multiples of D 1 - γ , in the sense that the function | D ∇ ( ln ( G D 1 - γ ) ) | 2 satisfies a Carleson measure estimate on Ω . We underline that the strong and the weak results are different in nature and, of course, at the level of the proofs: the latter extensively used compactness arguments, while the present paper relies on some intricate integration by parts and the properties of the "magical" distance function from David et al. (Duke Math J, to appear).

Dans David and Mayboroda (Approximation of green functions and domains with uniformly rectifiable boundaries of all dimensions. arXiv:2010.09793) il est démontré que pour les domaines à bord uniformément rectifiable, la fonction de Green vérifie des estimations faibles de bonne approximation par des fonctions affines, avec une réciproque vraie dans certains cas encourageants. Ici on part de la rectifiabilité uniforme et on démontre les estimations fortes naturelles d'approximation de la fonction de Green, et aussi des solutions, par des applications affines (ou, de manière équivalente, des multiples de la distance au bord adoucie). L'étude inclut les analogues naturels du Laplacien dans les domaine dont la frontière est de grande co-dimension. On considère les opérateurs elliptiques L ß , γ = div D d + 1 + γ - n ∇ associés à un domaine Ω âŠ‚ R n dont le bord Γ est Ahlfors régulier et uniformément rectifiable de dimension d < n - 1 et à la distance au bord maintenant usuelle D = D ß définie par D ß ( X ) - ß = ∫ Γ | X - y | - d - ß d σ ( y ) pour X ∈ Ω , où ß > 0 et γ ∈ ( - 1 , 1 ) sont des paramètres et σ une mesure Ahlfors régulière sur Γ . Les auteurs ont montré précédemment que la mesure elliptique associée à L ß , γ est bien définie et est mutuellement absolument continue par rapport à σ , avec un poids de A ∞ . Ici on démontre que la fonction de Green G avec pôle à l'infini associée à L ß , γ est bien approchée par les multiples de D, au sens où la fonction | D ∇ ( ln ( G D 1 - γ ) ) | 2 vérifie une condition de Carleson sur Ω . Ces nouvelles estimations sont différentes en nature. Les estimations de David and Mayboroda (Approximation of green functions and domains with uniformly rectifiable boundaries of all dimensions. arXiv:2010.09793) reposaient sur des arguments de compacité; ici on a besoin d'estimations plus précises, obtenues par intégration par parties et en utilisant les propriétés algébriques de la fonction D α dans le cas"magique" de David et al. (Duke Math J, to appear).