Swimming in Curved Surfaces and Gauss Curvature / Natación en superficies curvas y curvatura gaussiana / Natação em superfícies curvas e curvatura Gaussiana

ABSTRACT

Abstract The Cartesian-Newtonian paradigm of mechanics establishes that, within an inertial frame, a body either remains at rest or moves uniformly on a line, unless a force acts externally upon it. This crucial assertion breaks down when the classical concepts of space, time and measurement reveal to be inadequate. If, for example, the space is non-flat, an effective translation might occur from rest in the absence of external applied force. In this paper we examine mathematically the motion of a small object or lizard on an arbitrary curved surface. Particularly, we allow the lizard's shape to undergo a cyclic deformation due exclusively to internal forces, so that the total linear momentum is conserved. In addition to the fact that the deformation produces a swimming event, we prove -under fairly simplifying assumptions- that such a translation is somewhat directly proportional to the Gauss curvature of the surface at the point where the lizard lies.

RESUMEN

Resumen El paradigma newtoniano de la mecánica establece que, en un sistema de referencia inercial, un cuerpo permanece en reposo o se mueve uniformemente en una recta, a menos que una fuerza externa actúe sobre él. Esta afirmación crucial falla cuando los conceptos clásicos de espacio, tiempo y medición son inadecuados. Si, por ejemplo, el espacio no es euclidiano, el cuerpo podría abandonar el reposo en ausencia de fuerza externa aplicada. En este artículo examinamos matemáticamente el movimiento de un pequeño objeto o lagartija en una superficie curva cualquiera. En particular, permitimos que la forma del lagarto sufra una deformación cíclica debida exclusivamente a fuerzas internas, de modo que la cantidad de movimiento lineal se conserva. Además del fenómeno de traslación o natación, probamos -bajo ciertas suposiciones simplificadoras- que dicha traslación es directamente proporcional a la curvatura gaussiana de la superficie en el punto donde yace la lagartija.

RESUMO

Resumo O paradigma Newtoniano da mecânica prevé que, em um referencial inercial (Galileano), um corpo está parado ou se movimentando em linha reta e com velocidade constante, a menos que uma força externa atue sobre ele. Essa declaração crucial falha quando os conceitos clássicos de espaço, tempo e medição são inadequados. Se, por exemplo, o espaço não é euclidiano, o corpo pode sair do repouso sem ser impelido por uma força externa. Neste artigo, examinamos matematicamente o movimento de um pequeno objeto (lagartixa) em qualquer superficie curva. Em particular, permitimos que a forma da lagartixa sofra uma deformação causada exclusivamente por forças internas, de modo que o momento linear seja conservado. Além do fenômeno da translação ou da natação, provamos -sob certos pressupostos simplificadores- que a translação efetiva é diretamente proporcional à curvatura Gaussiana da superfície.