A general low cost optimization approach for tracing rays in a 3-D isotropic and anisotropic media

ABSTRACT

In this work we present the general problem of tracing rays in 3-D isotropic and anisotropic media as a set of optimization problems. Each optimization problem is obtained by applying the Fermat‘s principle, by considering linear ray path and an ellipsoidal approximation of the group velocity for converted waves, which simplifies the computations of the problem. This formulation is general in the sense that it can be applied to a 3-D isotropic and anisotropic media, depending on the input parameters. Ray tracing is frequently used in each iteration of travel time tomography problem, for estimating the travel time and the ray trajectories. Even with recent computer technologies, the problem of estimating reflector depth and seismic velocity via tomography is very time consuming. For that reason, it is crucial to have a computational efficient and low time consuming ray tracing algorithm. We propose to solve each ray tracing optimization problem with the Global Spectral Gradient method. This is a recently developed optimization technique that requires few floating point operations and that has low storage requirements. The use of the low computational cost optimization technique together with the simplicity of the ray tracing formulation for isotropic and anisotropic media; make this approach a very attractive, effective and fast method for tracing rays in 3-D media. We present some numerical results that show the computational advantages and the performance of this ray tracing approach in isotropic and anisotropic 3-D media.

RESUMEN

En este trabajo se presenta el problema general de trazar rayos en medios isótropos y anisótropos 3-D como un conjunto de problemas de optimización. Cada problema de optimización esta basado en el principio de Fermat, la consideración de que el segmento de rayo entre dos interfaces consecutivas es una línea recta (medio homogéneo en cada capa), y en una aproximación ellipsoidal de la velocidad de grupo para ondas convertidas, los cuales simplifican en gran medida los cálculos del problema. Esta formulación del problema es general en tal sentido que puede ser utilizada para medios 3-D isótropos y anisótropos, dependiendo de los parámetros de entrada. El trazado de rayos es frecuentemente usado en cada iteración del problema de tomografía con tiempos de viajes, para estimar las trayectorias de los rayos y sus tiempos de viaje asociados. A pesar de los grandes avances tecnológicos en computación , el problema de estimar velocidades sísmicas utilizando tomografía con tiempos de viaje requiere mucho tiempo de computación. Por tal razón, es crucial desarrollar algoritmos eficientes y de bajo costo computacional que permitan trazar rayos en medios 3-D isótropos y anisótropos. Nosotros proponemos resolver cada problema de optimización con el método de Gradiente Espectral Globalizado. Esta es una técnica de optimización recientemente desarrollada, que requiere pocas operaciones punto flotante y poco almacenamiento computacional. El uso de esquemas de optimización de bajo costo computacional además, de la simplicidad de la formulación aquí presentada, hacen del algoritmo propuesto un enfoque efectivo, atractivo y rápido para trazar rayos en medios 3-D. Se presentan resultados numéricos que muestran las ventajas computacionales y el comportamiento del algoritmo en medios 3-D isótropos y anisótropos.