Closed-form expressions to Gompertz-Makeham life expectancies: a historical note / Expressões de forma fechada para as expectativas de vida de Gompertz-Makeham: uma nota histórica / Expresiones de forma cerrada a las esperanzas de vida de Gompertz-Makeham: una nota histórica

Abstract Results well known in the actuarial community about closed-form expressions to Gompertz and Gompertz-Makeham life expectancies for a person aged x are still being independently rediscovered to this day. This note seeks to acknowledge previous results about closed-form expressions to Gompertz-Makeham life expectancies, especially in the actuarial science field, hoping to stimulate interdisciplinarity and provide the background for further developments, especially since the derivation of closed-form expressions for life expectancy (and annuities) based on particular mortality laws are matters of interest for multiple fields such as actuarial science, biology, demography, statistics among others.

Resumo Resultados bem conhecidos pela comunidade atuarial sobre expressões de forma fechada para esperança de vida de Gompertz e Gompertz-Makeham para uma pessoa de idade x ainda estão sendo redescobertos de forma independente nos dias atuais. Esta nota visa fornecer algum reconhecimento aos resultados anteriores sobre expressões de forma fechada para expectativa de vida de Gompertz e Gompertz-Makeham, especialmente no campo das ciências atuariais, na esperança de estimular a interdisciplinaridade e fornecer o pano de fundo para novos desenvolvimentos, em especial porque a derivação de expressões de forma fechadas para expectativa de vida (e anuidades) com base em leis de mortalidade despertam o interesse de várias áreas, como ciências atuariais, biologia, demografia, estatística, entre outras.

Resumen Los resultados bien conocidos por la comunidad actuarial sobre las expresiones de forma cerrada de las esperanzas de vida de Gompertz y Gompertz-Makeham para una persona de edad x todavía se están redescubriendo de forma independiente en la actualidad. Esta nota pretende reconocer algunos resultados anteriores sobre expresiones cerradas para la esperanza de vida de Gompertz y Gompertz-Makeham, en especial en el campo de las ciencias actuariales, con la esperanza de fomentar la interdisciplinariedad y proporcionar el telón de fondo para futuros desarrollos, sobre todo desde que la derivación de expresiones cerradas para la esperanza de vida (y anualidades) basado en leyes de mortalidad despertó el interés de varias áreas, como las ciencias actuariales, biología, demografía, estadística, entre otras.

The life table paradox: has Brazil already overcome it? / O paradoxo da tábua de sobrevivência: o Brasil já o superou? / La paradoja de la tabla de vida: ¿Brasil ya a la superó?

Ideally, life expectancy should be a decreasing function of age. When this fact is not observed, this situation is known as the life table paradox. This paper investigated the timing (and health metrics at the time) in which Brazil and its Federation Units (FU) overcame (or are expected to overcome) this paradox. The data were gathered from the Brazilian Institute of Geography and Statistics and contained 3,416 sex-specific abridged life tables, from 2000 to 2060. At national level, females and males overcame the paradox in 2016 and 2018, respectively. However, when the FU were examined separately, much heterogeneity was observed. Through the decomposition analysis of the change over time in the difference between life expectancy at birth and at age one, we found that Brazil and most of its FU are expected to have both changes declining over time and the total change is expected to be decreasing and greater than zero. Nevertheless, for some Northeastern states the total change is expected to pass from a positive to a negative value; and for two Northern states the total change is expected to be neither decreasing nor increasing. In a public planning perspective, we understand that achieving balancing in the life tables is a goal to be pursued, especially because having an imbalanced table means that life expectancy at birth is still strongly influenced by high levels of infant mortality. Therefore, this knowledge could help planners to properly define strategies to accelerate the balancing process and revert unequal scenarios.

Idealmente, a expectativa de vida deveria ser uma função decrescente da idade. Quando tal fato não é observado, a situação é conhecida como o paradoxo da tábua de mortalidade. Este artigo investigou o momento (e métricas de saúde neste momento) em que o Brasil e suas unidades da federação (UF) superaram (ou são esperados superar) este paradoxo. Os dados foram obtidos do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística e continham 3.416 tábuas de mortalidade abreviadas e específicas por sexo, de 2000 até 2060. No nível nacional, mulheres e homens superaram o paradoxo em 2016 e 2018, respectivamente. Contudo, quando foram examinadas as UFs separadamente, grande heterogeneidade foi observada. Pela análise de decomposição da mudança no tempo da diferença entre a expectativa de vida ao nascer e na idade de um ano, observamos que o Brasil e a maioria de suas UFs esperam ter ambas as mudanças decrescentes ao longo do tempo e a mudança total é esperada ser decrescente e maior do que zero. Entretanto, para alguns estados do Nordeste, a mudança total é esperada passar de um valor positivo para um negativo; e para dois estados do Norte a mudança total esperada não deve ser nem crescente nem decrescente. Em uma perspectiva de planejamento público, entendemos que alcançar o balanceamento das tábuas de mortalidade é um objetivo a ser perseguido, especialmente porque ter uma tábua desbalanceada significa que a expectativa de vida ao nascer ainda é fortemente influenciada pelos altos níveis de mortalidade infantil. Assim, este conhecimento pode ajudar planejadores a definirem estratégias apropriadas para acelerar o processo de balanceamento e reverter cenários de desigualdade.

Idealmente, la esperanza de vida debería ser una función decreciente de la edad. Cuando esto no sucede, se conoce al hecho como la paradoja de la tabla de mortalidad. Este artículo investigó el momento —y las medidas de salud en ese momento— en que Brasil y sus unidades de la federación UF) superaron —o se espera que superen— esta paradoja. Los datos fueron tomados del Instituto Brasileño de Geografía y Estadística (IBGE) y contenían 3416 tablas de vida abreviadas oficiales y específicas por sexo, desde 2000 hasta 2060, para Brasil y sus 27 UF. A el ámbito nacional, mujeres y hombres habían superado la paradoja en 2016 y 2018, respectivamente. Sin embargo, cuando las UF se examinaron por separado, se observó una gran heterogeneidad. Mediante el análisis de descomposición del cambio a lo largo del tiempo en la diferencia entre la esperanza de vida al nacer y al primer año de edad, encontramos que se espera que Brasil y la mayoría de sus UF presenten cambios que disminuyan con el tiempo y se espera que el cambio total disminuya y sea mayor que cero. No obstante, para algunos estados del noreste, se espera que el cambio total se oriente desde un valor positivo hacia uno negativo, así como para dos estados del norte el cambio total esperado no debería aumentar ni disminuir. En una perspectiva de planificación pública, entendemos que lograr una tabla de mortalidad equilibrada es un objetivo a perseguir, especialmente porque tener una tabla desequilibrada significa que la esperanza de vida al nacer sigue estando fuertemente influida por los altos niveles de mortalidad infantil. Por lo tanto, este conocimiento puede ayudar a los planificadores a definir estrategias adecuadas para acelerar el proceso de equilibrio y revertir los escenarios de desigualdad.